Mathématiques pour la modélisation
Présentation du livre
La modélisation est l'art de transformer un problème réel, qu'il soit climatique, environnemental, physique, mécanique, chimique, etc., en un problème abstrait de mathématiques. C'est la capacité à déterminer si ce problème admet des solutions, et si oui, dans quel sens. C'est aussi le transformer en un algorithme numérique pour écrire un code de résolution sur ordinateur, comparer les résultats obtenus avec les données expérimentales du problème d'origine, et boucler la boucle.
Le but de cet ouvrage est de proposer les outils mathématiques de base pour comprendre et utiliser les techniques de modélisation, de l’algèbre linéaire à la géométrie différentielle en passant par les espaces de Hilbert, avec pour objectifs le théorème de Lax-Milgram, les formules de Green-Ostrogradski et de Stokes, et une initiation à l'analyse des trois phénomènes fondamentaux de la nature : elliptiques, hyperboliques et paraboliques, illustrés par l’équation de Laplace, l’équation de la chaleur et l’équation des ondes.
L’ouvrage se termine par un chapitre complet d’exercices corrigés.
Sommaire de l'ouvrage
Espaces vectoriels et applications linéaires. Axiomes généraux. Dimension finie et bases. Base incomplète et espaces supplémentaires. Applications linéaires. Espaces quotients. Matrice d'une application linéaire. Géométrie du plan et de l’espace. Espaces affines. Espace dual et produit scalaire dans le plan. Déterminants en dimension 2. Cas de l'espace. Déterminants dans 3. Géométrie dans Rn. Dualité en dimension finie. Orthogonalité. Déterminants. Décomposition spectrale. De Euclide à Hilbert. Formes quadratiques. Espaces pré-hilbertiens et hilbertiens. Le dual topologique. L'espace 2(), Fourier et hs(). Lax-Milgram : saison 2. Intégrales sur des courbes et des surfaces. Intégrale sur un segment. Intégrale sur une courbe cartésienne. Courbes paramétrées. Formes différentielles de degré 1. Intégrales sur des surfaces. Équations aux dérivées partielles. Kit de survie dans les espaces. Vorticité, courants, potentiels. EDP de base et solutions fondamentales. Problèmes aux limites. Exercices corrigés.
